Der quantenmechanische harmonische Oszillator

sind zwar seit langem bekannt, erfordern aber mathematisches Rüstzeug, das im Schulunterricht nicht zur Verfügung steht. Um dennoch die Lösungen dieser Gleichung zu erhalten und ggf. die aus ihnen folgenden Konsequenzen diskutieren zu können, kann man die obige Gleichung numerisch zu lösen: die Differentiale werden dazu durch Differenzen ersetzt. Es gibt unterschiedliche Verfahren, um die dabei entstehenden Fehler möglichst klein zu halten. In dem hier eingebundenen Applet wird das Verfahren von Runge-Kutta verwendet.

 

So wird das Applet bedient: Zuerst wird am Scrollbalken die Energie gewählt. Dann wird an den Radiobuttons die Parität der Wellenfunktion eingestellt. Der "Rechnen"-Button startet die Rechnung, Sinnvolle Lösungen der Schrödingergleichung dürfen nicht divergieren, d.h., die dazugehörige Kurve darf nicht nach oben aus dem Fenster verschwinden.

 

Die Energie wird im Applet in Vielfachen von h·f_c angezeigt. Dabei ist f_c die Frequenz des entsprechenden klassischen Oszillators. Das Quadrat der Lösungsfunktion wird von x=0 an in Richtung positiver x-Werte aufgetragen. Für negative x-Werte ist sie einfach gespiegelt und wird daher dort nicht dargestellt. Nur wenn die Fläche unter der Kurve endlich bleibt, kann sie als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden und ist physikalisch sinnvoll. Finden Sie die passenden Energien.

Man lernt: Nicht die Schrödingergleichung, sondern die Randbedingungen bringen die Quanten in die Quantentheorie

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